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けんぼーは留年生

Twitterに書ききれないこととか

イメージをイメージで超えていけ(巨大数の話)~コンウェイのチェーン表記編~

タイトルは裏サンデー | 寿司 虚空編の第二話より。

 

ステマ(?)したところで巨大数の話をしたい。

コンウェイのチェーン表記について詳しい話はネットを探せば詳しい解説等は沢山出てくるがここでは僕が僕なりに理解したイメージを書いていこうと思う。ちなみに私は数学についてそれ程明るいというわけでもないのでもし間違いがあったら積極的に指摘していただけると有り難い。後この文章は色々細かいところを省いているのでこの記事だけで全てを理解した気にならないで欲しい

 

 

とにかく今回の目的は数を大きくすることだ。大きくする一番簡単な計算と言えばそう足し算だ。足し算を全ての始まりとしよう。今ここに足し算マンがいるとする。f:id:kemboorg:20140308153820p:plain

足し算マンは数字を2つ渡すと足し算してくれるすごい奴だ。

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 だがこれではまだ小さすぎる。足し算で数字を大きくしようと思ったらものすごい回数書かなければならない。例えば2と3の足し算だけで100を目指そうと思ったら紙いっぱいに足し算を書く羽目になるだろう。賢い人はそんな莫迦なことはしない。足し算がダメならその上がある。そう掛け算だ。

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そもそも掛け算とは何をしているかと言うと足し算の繰り返しだ。例えば掛け算マンに2×3を与えるとこんな感じになる。

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この時注意して欲しいのは×3の時は足し算マンは3人じゃなくて2人というところ。もし×100だったら足し算マンは99人になる。つまりはこんな感じだ。

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さぁ足し算をまとめたら掛け算になった。じゃあ同じ考え方で掛け算をまとめたら?聡明な諸君なら(この言い回し一度使ってみたかったんだ!)既に知っているだろう。そう冪乗だ。通常2の3乗と言ったら2の右上に小さく3と書くものなのだが、正直この場では見づらいし分かりづらい。そこでクヌースとか言うおっさんが考えたタワーという表記法を使おう。2の3乗は2↑3と表す。というわけで掛け算マンをまとめて冪乗マンが出来る。

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+を繰り返して×に、×を繰り返して↑になった。当然↑を繰り返すことも出来る。↑を繰り返したものは↑↑と表す。新しい記号を考えるのが面倒くさいしこれならいくらでも新しい演算子が作れる。似たような図を描き続けるのが面倒なので式で済ませるが、2↑↑3=2↑2↑2=2↑4=2×2×2×2=16 ってな具合だ。以降↑↑を繰り返せば↑↑↑、↑↑↑を繰り返せば↑↑↑↑……といくらでも続けられる

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ここまで来ると1つのアイディアが生まれる。下からLv1,2,3,……と番号を振っていきLv100とかデカい数字を与えれば滅茶苦茶デカくなる計算が出来るのではないか。当然誰もがそう考えるだろう。

 

ここで待望のコンウェイのチェーン表記の登場だ。コンウェイやチェーンは日本語的にはちょっと語呂が悪いのでとりあえず矢印マンと呼ばせていただこう("矢印表記"と言えばさっきの"↑"を指すのであまり良い呼び方じゃないんだけどね)。今までの何とかマンとはレベルが違うので風貌もちょっと変えてみた。

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さてこの矢印マン、実は一人では大したことは出来ない。例えば23と書いた場合何を意味するかと言うとさっきの2↑3と同じだ。

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では矢印マンが2人いたらどうなるのか。233というものがあったとするとそれは2↑↑↑3を表す。つまり↑を基準として↑↑、↑↑↑とレベルアップさせていくという意味になる。

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さて、折角矢印マンを召喚したのだから矢印マンだけでこの式を解いてみよう。そもそも↑↑↑とは↑↑の繰り返しの意だった。だから2↑↑↑3=2↑↑(2↑↑2))となる。これをチェーン表記で書こうとするとこう233=2(222)2(※途中式省いてます)。長いし見づらいし分かりづらい。そこで矢印マンにちょっと変身していただいた。変身と言っても右端の数字を顔に装着させただけだが、こんな感じになる。(ついでに変身した矢印マンを矢印マン(数字)と表すことにする)

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矢印マン(3)の右側に3がある。ということは矢印マン(3)よりグレードが1低い矢印マン(2)が2人になる。ではこいつをゆっくり計算していこう矢印マンの矢印は左から右なのに実際の計算は右から左に進めていくことに注意して欲しい。まずは1人目、右側の矢印マン(2)からだ。

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こいつは超簡単だ。ただ単に2の2乗だから4になる。ただそれだけ。では2人目、左側の矢印マン(2)を計算しよう。さっきの4が左側の矢印マン(2)に与えられるのでこうなる。

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※間違えました矢印マンが一人多いですね。4と言っているのだから矢印マンは1つ少ない3人であるべきです。従って65536が答えです。

おっと2の65536乗とかいうとんでもない数になってしまった。普通に書こうとすると19729桁になる数だ。2→3→3と見た目は矢印が2つに増えただけなのにそのサイズがどれだけ恐ろしいものになるかよく分かっただろう。右端が3だからまだ良い。もし2→3→4なんて計算しようものならもっと恐ろしいことになるのは想像に難くない。だが、この程度ではただ単に上向きの矢印を書き直したに過ぎない。矢印マンはもっと増やせるのだ。矢印マンの本当の恐ろしさはここから始まる。

矢印を1つ増やして2333という数を考えてみる。

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矢印マンは右側の矢印マンから計算していくと言ったのでまず右側の矢印マンを変身させるとこういうことになる。

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左をさっさと計算して8にしてしまいたいがそれはダメだ。何度も言うようだが矢印マンの計算は右から行う。つまりこうなる。

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では一番右の矢印マン(2)から解いていこう。ちなみに矢印マン(1)はさっき書いたように変身前の矢印マンと同じなので勝手に変身を解かせているが混乱しないように。

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もうやめてくれ。と言いたくなる。やってることは23にその右側から計算結果を継ぎ足していくことを7回繰り返すだけなのだが、右下の方の2→3→(2→3)=2→3→8の時点でもう普通の表記では現せないヤバい数字になることを我々は知っている。そのヤバい数字が左へ進むにつれてどんどんヤバくなっていく。矢印マンが幾多の矢印マンを生み出し、その矢印マンが更に矢印マンを増やし続けるのだ。

 

人は一体どこまで大きな数字を想像できるだろう。1億?1兆?まだまだもっと?だけどこれを読んで分かってもらえたと思う。僕たちが紙に書ける数字なんてまだまだ全然小さすぎる。人はもっと大きな数字を作り出せるのだ。今回紹介したコンウェイのチェーン表記は既に大きすぎるくらい大きいのだが、実は更に上の世界がある。それはまた次の機会。

 

今回参考にしたサイトはこちら。僕はこのチェーン表記で生まれた数字がどのくらい大きいのかとかそういう話をすっ飛ばしているので興味を持ったら是非熟読して欲しい。

巨大数論

コンウェイのチェーン表記 - Wikipedia

画像はこちらの物を加工して使わせていただいた。

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そして僕がこんな記事を書くきっかけになった漫画を再度紹介して終わりにしよう。

裏サンデー | 寿司 虚空編